Inégalité de Cauchy-Schwarz pour la covariance

Soient $X$ et $Y$ deux VA admettant un moment d'ordre 2.

1. En considerant $P(t) = \mathbb{E}\big((X - \mathbb{E}(X) + t(Y - \mathbb{E}(Y)))^2\big)$, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

2. En déduire que $-1 \leq \rho(X, Y) \leq 1$.

3. Montrer que $|\rho(X, Y)| = 1$ si et seulement s'il existe $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \neq 0$ tels que $Y = aX + b$ p.s.

4. Soit $Z = Y - \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)} X$. Montrer que $\text{Cov}(X, Z) = 0$ et que $\text{Var}(Z) = \text{Var}(Y)(1 - \rho^2)$.