Fonction génératrice d'une somme de VA

Soit $G_X(s) = \mathbb{E}(s^X)$ la fonction génératrice de la VA $X$ a valeurs dans $\mathbb{N}$.

1. Calculer $G_X(s)$ pour $X \sim \mathcal{B}(1, p)$.

2. Si $X_1, \ldots, X_n$ sont iid de loi $\mathcal{B}(1, p)$, montrer que $S_n = X_1 + \cdots + X_n \sim \mathcal{B}(n, p)$ via les fonctions génératrices.

3. Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $Y \sim \mathcal{B}(m, p)$ sont indépendantes, determiner la loi de $X + Y$.

4. (Amincissement de Poisson) Soit $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $(X_k)_{k \geq 1}$ iid de loi $\mathcal{B}(1, p)$, indépendantes de $N$. Montrer que $S = \sum_{k=1}^{N} X_k \sim \mathcal{P}(\lambda p)$.