Espérance conditionnelle

Soit $X \sim \mathcal{B}(1, 1/2)$ et, conditionnellement a $X$ :

• si $X = 0$, alors $Y$ suit la loi uniforme sur $\{0, 1, 2\}$ ;
• si $X = 1$, alors $Y$ suit la loi uniforme sur $\{1, 2, 3\}$.

1. Determiner la loi conjointe de $(X, Y)$.

2. Calculer $\mathbb{E}(Y \mid X = 0)$ et $\mathbb{E}(Y \mid X = 1)$.

3. Vérifier la formule de l'espérance totale : $\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(Y \mid X))$.

4. Calculer $\text{Cov}(X, Y)$.