Loi de X+Y par convolution discrète

Soient $X$ et $Y$ deux VA indépendantes suivant chacune la loi uniforme sur $\{1, 2, 3\}$. On pose $S = X + Y$.

1. Determiner la loi de $S$ par la formule de convolution discrète :

2. Calculer $\mathbb{E}(S)$ et $\text{Var}(S)$ directement puis vérifier avec les formules $\mathbb{E}(X+Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ et $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$.

3. Quelle est la valeur la plus probable de $S$ ?