Optimalité de Bienaymé-Tchebychev

1. Pour quelles valeurs de $t > 0$ l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne-t-elle une information utile sur $\mathbb{P}(|X - \mu| \geq t)$ ?

2. Soit $t \geq \sigma$. Construire une variable $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ pour laquelle $\mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) = \dfrac{\sigma^2}{t^2}$.

3. Qu'en conclure sur la possibilité d'améliorer l'inégalité ?