LFGN et méthode des moments

Soit $(X_k)_{k \geq 1}$ iid de loi géométrique $\mathcal{G}(p)$, $p \in \,]0, 1[$ inconnu. On observe $X_1, \ldots, X_n$ et on pose $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$.

1. Rappeler $\mathbb{E}(X_1)$ et $\text{Var}(X_1)$.

2. Par la LFGN, vers quoi converge $\bar{X}_n$ en probabilité ?

3. En déduire que $\hat{p}_n = 1/\bar{X}_n$ converge en probabilité vers $p$ (méthode des moments).

4. L'estimateur $\hat{p}_n$ est-il sans biais ?

5. Application : on lance un dé jusqu'à obtenir un 6, et on répète $n = 200$ fois. On obtient $\bar{x}_{200} = 5{,}8$. Donner une estimation de $p$ et un intervalle de confiance à 95\%.