Modes de convergence et implications

1. Rappeler les définitions de convergence en probabilité ($X_n \xrightarrow{\mathbb{P}} X$), en loi ($X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$) et en moyenne quadratique ($X_n \xrightarrow{L^2} X$).

2. Montrer que la convergence $L^2$ implique la convergence en probabilité.

3. Montrer que la convergence en probabilité implique la convergence en loi.

4. Donner un contre-exemple montrant que la convergence en probabilité n'implique pas la convergence $L^2$.

5. Donner un contre-exemple montrant que la convergence en loi n'implique pas la convergence en probabilité.