Estimation par la moyenne empirique

On souhaite estimer la proportion $p$ de pièces défectueuses dans une production. On prélève $n$ pièces indépendantes et on note $\hat{p}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ la proportion empirique, où $X_i = 1$ si la $i$-ème pièce est défectueuse.

1. Montrer que $\hat{p}_n$ est un estimateur sans biais de $p$.

2. Calculer $\text{Var}(\hat{p}_n)$ et montrer que $\text{Var}(\hat{p}_n) \leq \frac{1}{4n}$.

3. En utilisant Tchebychev, trouver $n$ tel que $\mathbb{P}(|\hat{p}_n - p| \geq 0{,}02) \leq 0{,}05$, quel que soit $p$.

4. Interpréter : quel est le nombre minimal de pièces à tester ?