Point fixe sur un compact

Difficile

Soit

K

un compact non vide de

\mathbb{R}

f: K \to K

croissante.

Montrer que

\ell = \sup\{x \in K \mid f(x) \geq x\}

est bien défini.

Montrer que

f(\ell) = \ell

(point fixe).

Ce résultat reste-t-il vrai si

K

est seulement fermé ? seulement borne ?

La solution est réservée aux abonnés

L'énoncé est en libre accès. Les indices progressifs et la solution détaillée sont réservés aux abonnés Premium.

Point fixe sur un compact

Difficile

Soit

K

un compact non vide de

\mathbb{R}

f: K \to K

croissante.

Montrer que

\ell = \sup\{x \in K \mid f(x) \geq x\}

est bien défini.

Montrer que

f(\ell) = \ell

(point fixe).

Ce résultat reste-t-il vrai si

K

est seulement fermé ? seulement borne ?

L'énoncé est en libre accès. Les indices progressifs et la solution détaillée sont réservés aux abonnés Premium.