Banach par les séries absolument convergentes, et l'ouverture de GLn
Banach par les séries absolument convergentes, et l'ouverture de GLn
Concours
Soit (E,∥⋅∥) un normé.
Montrer que E est complet si et seulement si toute série absolument convergente d'éléments de E converge.
Montrer que (C([0,1]),∥⋅∥∞) est complet.
Montrer que (C([0,1]),∥⋅∥1), où ∥f∥1=∫01∣f(t)∣dt, ne l'est pas. ⚠️ Attention : il ne suffit pas d'exhiber une limite non continue.
On suppose ici E complet, et on se donne T:E→E linéaire continue vérifiant ∥T∥<1. Montrer que I−T est inversible, d'inverse ∑n≥0Tn (série de Neumann).
En déduire que GLn(R) est un ouvert de Mn(R).
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