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ExercicesSuites de Cauchy et complétude
Suites de Cauchy et complétude
Soit
(E,d) un espace métrique.
Definir une . Montrer que toute suite convergente est de Cauchy.
Montrer que la réciproque est fausse en général : dans ]0,1[ avec la distance usuelle, xn=1/n est de Cauchy mais ne converge pas (dans ]0,1[).
E est dit complet si toute converge. Montrer que R est complet.
Montrer que tout espace métrique compact est complet.
Montrer que tout fermé d'un espace complet est complet, et réciproquement, tout sous-espace complet d'un espace métrique est fermé.La solution est réservée aux abonnés
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