Soit
(E,d) un espace métrique complet et
f:E→E une contraction : il existe
k∈[0,1[ tel que
d(f(x),f(y))≤k⋅d(x,y) pour tous
x,y.
Montrer que f admet au plus un point fixe, et dire où l'hypothèse k<1 stricte est utilisée.
Soit x0∈E et xn+1=f(xn). Montrer que d(xn,xn+1)≤knd(x0,x1).
Montrer que (xn) est de Cauchy et converge vers un point fixe ℓ.
Établir la majoration d'erreur d(xn,ℓ)≤1−kknd(x0,x1).
Application à cosx=x sur [0,1]. Que vaut la majoration de la question 4 au rang 3 ? Est-elle utile ?