Soit
(E,d) un espace métrique complet et
f:E→E une contraction: il existe
k∈[0,1[ tel que
d(f(x),f(y))≤k⋅d(x,y) pour tous
x,y.
Montrer que f admet au plus un point fixe.
Soit x0∈E et xn+1=f(xn). Montrer que d(xn,xn+1)≤knd(x0,x1).
Montrer que (xn) est de Cauchy et converge vers un point fixe ℓ de f.
Montrer la majoration d'erreur : d(xn,ℓ)≤1−kknd(x0,x1).
Application : montrer que l'équation cosx=x admet une unique solution dans [0,1], et l'approcher par 3 itérations.