Soit
(E,d) un espace métrique complet.
Rappeler la définition d'un fermé, d'un ouvert dense, et d'un Gδ.
(Théorème de Baire) Montrer que toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense dans E.
En déduire qu'un espace métrique complet n'est pas réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.
Application : montrer que R n'est pas dénombrable.
Montrer que l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] qui sont dérivables en au moins un point est maigre dans (C0([0,1]),∥⋅∥∞).