Soit
X une variable aléatoire a valeurs dans
N. On définit sa fonction
GX(s)=E(sX)=∑k=0∞P(X=k)sk.
Montrer que GX est définie au moins sur [−1,1] et que GX(1)=1.
Exprimer E(X) et Var(X) en termes de GX et ses dérivées en 1.
Si X et Y sont , montrer que GX+Y(s)=GX(s)GY(s).
En déduire que la somme de deux indépendantes P(λ) et P(μ) suit P(λ+μ).
Application: soit N∼P(λ) et X1,X2,… iid de loi B(p), indépendantes de N. Trouver la loi de S=∑k=1NXk.