Une urne contient initialement 1 boule rouge et 1 boule bleue. A chaque étape, on tire une boule au hasard et on la remet avec une boule supplementaire de la même couleur.
Soit Rn le nombre de boules rouges après n tirages (l'urne contient n+2 boules au total).
Montrer que P(R1=2)=P(R1=1)=1/2.
Calculer P(Rn=k) pour 1≤k≤n+1.
Montrer que P(Rn=k)=n+11 pour tout k∈{1,…,n+1} (loi uniforme).
Calculer E(Rn) et Var(Rn).
Soit Xn=Rn/(n+2) la proportion de boules rouges. Montrer que (Xn) est une martingale: E(Xn+1∣Rn)=Xn.