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ExercicesMarche aléatoire sur
Z : récurrente, mais nulle
Marche aléatoire sur Z : récurrente, mais nulle
Soit
(ξn)n≥1 une suite iid avec
P(ξn=1)=P(ξn=−1)=1/2. On pose
S0=0 et
Sn=∑k=1nξk : c'est la
marche aléatoire simple sur
Z.
Calculer E(Sn) et Var(Sn).
Calculer P(S2n=0) et montrer que P(S2n=0)∼πn1.
(Principe de réflexion) Montrer que P(S1>0,S2>0,…,S2n>0)=21P(S2n=0).
En déduire que la marche revient en 0 avec probabilité 1 : on dit qu'elle est récurrente.
Soit T=inf{n≥1:Sn=0} le temps de premier retour. Montrer que E(T)=+∞ : la marche est récurrente nulle.La solution est réservée aux abonnés
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