Marche aléatoire sur

\mathbb{Z}

Marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$

Concours

Soit

(\xi_n)_{n\geq 1}

une suite iid avec

P(\xi_n=1)=P(\xi_n=-1)=1/2

. On pose

S_0=0

S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k

Calculer

E(S_n)

\text{Var}(S_n)

Calculer

P(S_{2n}=0)

et montrer que

P(S_{2n}=0)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}

(Lemme de réflexion) Montrer que

P(S_1>0,S_2>0,\ldots,S_{2n}>0)=\frac{1}{2}P(S_{2n}=0)

En déduire que la probabilité de retour a l'origine est 1 (la marche aléatoire sur

\mathbb{Z}

est récurrente).

Montrer que le temps moyen de retour a l'origine est infini.

La solution est réservée aux abonnés

L'énoncé est en libre accès. Les indices progressifs et la solution détaillée sont réservés aux abonnés Premium.

Marche aléatoire sur

\mathbb{Z}

Concours

Soit

(\xi_n)_{n\geq 1}

une suite iid avec

P(\xi_n=1)=P(\xi_n=-1)=1/2

. On pose

S_0=0

S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k

Calculer

E(S_n)

\text{Var}(S_n)

Calculer

P(S_{2n}=0)

et montrer que

P(S_{2n}=0)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}

(Lemme de réflexion) Montrer que

P(S_1>0,S_2>0,\ldots,S_{2n}>0)=\frac{1}{2}P(S_{2n}=0)

En déduire que la probabilité de retour a l'origine est 1 (la marche aléatoire sur

\mathbb{Z}

est récurrente).

Montrer que le temps moyen de retour a l'origine est infini.

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