Soit
S(n,p) le nombre de surjections d'un ensemble a
n éléments vers un ensemble a
p éléments (
n≥p).
Montrer que le nombre total d'applications de {1,…,n} vers {1,…,p} est pn.
En utilisant la formule d'inclusion-exclusion, montrer que S(n,p)=∑k=0p(−1)k(kp)(p−k)n.
Vérifier pour n=3, p=2: S(3,2)=6.
En déduire les nombres de Stirling de deuxième espece: le nombre de partitions de {1,…,n} en p blocs non vides est p!S(n,p).
Application: de combien de facons peut-on repartir 5 boules distinctes dans 3 urnes non vides ?