Soit
E un espace euclidien de dimension
n et
F un
de dimension
p.
Montrer l'existence et l'unicité de la pF(x) sur F: c'est l'élément de F minimisant ∥x−y∥ pour y∈F.
Montrer que x−pF(x)∈F⊥ et que ∥x∥2=∥pF(x)∥2+∥x−pF(x)∥2 (Pythagore).
Montrer que pF est une application linéaire et que pF2=pF (projecteur), pF∗=pF ().
Soit (e1,…,ep) une orthonormée de F. Montrer que pF(x)=∑i=1p⟨x,ei⟩ei.
Application: projeter v=(1,2,3,4) sur F=Vect((1,1,0,0),(0,0,1,1)) dans R4.