Intégrales de Wallis

Concours

On pose

W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(t)\,dt

pour

n\in\mathbb{N}

Montrer que

W_0=\frac{\pi}{2}

W_1=1

et établir la relation de récurrence

W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n

En déduire les expressions explicites de

W_{2p}

W_{2p+1}

Montrer que

(W_n)

est décroissante et que

W_n\sim W_{n+1}

quand

n\to\infty

En déduire la formule de Wallis :

\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}

En déduire un équivalent de

\binom{2n}{n}

(formule de Stirling simplifiee).

La solution est réservée aux abonnés

L'énoncé est en libre accès. Les indices progressifs et la solution détaillée sont réservés aux abonnés Premium.

Intégrales de Wallis

Concours

On pose

W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(t)\,dt

pour

n\in\mathbb{N}

Montrer que

W_0=\frac{\pi}{2}

W_1=1

et établir la relation de récurrence

W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n

En déduire les expressions explicites de

W_{2p}

W_{2p+1}

Montrer que

(W_n)

est décroissante et que

W_n\sim W_{n+1}

quand

n\to\infty

En déduire la formule de Wallis :

\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}

En déduire un équivalent de

\binom{2n}{n}

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