On note
ln1x=lnx et
lnj+1x=ln(lnjx) le logarithme
itéré. On admet le résultat sur les séries de Bertrand :
∑n≥2nα(lnn)β1 converge si et seulement si
α>1, ou
α=1 et
β>1.
Déterminer, selon γ∈R, la nature de n≥3∑nlnn(lnlnn)γ1.
Généraliser : montrer que pour tout k≥1, la série n∑nlnn⋯lnk−1n(lnkn)γ1 converge si et seulement si γ>1.
La série ∑nlnnlnlnn1 diverge. Estimer le rang à partir duquel sa somme partielle dépasse 10.