Supplémentaires et projecteurs

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $p : E \to E$ un endomorphisme.

(a) Montrer que si $p$ est un projecteur ($p^2 = p$), alors $E = \ker p \oplus \text{Im}\,p$.

(b) La réciproque est-elle vraie ? On pourra examiner $p(x,y) = (2x, 0)$ dans $\mathbb{R}^2$, puis énoncer la condition qu'il faut ajouter pour obtenir une équivalence.

Si $p$ est un projecteur, montrer que $\text{Im}\,p = \ker(\text{Id} - p)$.

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$. Montrer que $p + q$ est un projecteur si et seulement si $pq = qp = 0$.

Dans ce cas, montrer que $\text{Im}(p+q) = \text{Im}\,p \oplus \text{Im}\,q$.