Dimension et intersection de sous-espaces

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et $F,G$ deux sous-espaces de $E$.

Rappeler la formule de Grassmann : $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$.

En déduire que si $\dim F+\dim G>n$, alors $F\cap G\neq\{0\}$.

(a) Montrer par récurrence sur $k$ que pour des sous-espaces $F_1,\ldots,F_k$ de $E$ :

(b) Cette minoration suffit-elle à conclure que $\bigcap_{i=1}^k F_i\neq\{0\}$ lorsque $\dim F_i>n/2$ pour tout $i$ ? Examiner d'abord $k=2$, puis, dans $\mathbb{R}^6$, les trois sous-espaces $\{x_1=x_2=0\}$, $\{x_3=x_4=0\}$ et $\{x_5=x_6=0\}$.

Application : dans $\mathbb{R}^5$, soient $F=\ker A$ et $G=\ker B$ où $A,B$ sont des matrices $2\times 5$. Montrer que $\dim(F\cap G)\geq 1$.