$\mathrm{GL}_n^+(\mathbb{R})$ par la décomposition polaire — sans homéomorphisme

Montrer que $\mathrm{GL}_n^+(\mathbb{R})=\{M\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) : \det M>0\}$ est connexe par arcs, en utilisant la décomposition polaire $M=OS$ avec $O\in\mathrm{SO}_n$ et $S$ symétrique définie positive.

⚠️ Ne pas invoquer d'homéomorphisme : deux chemins et un produit suffisent. Dire aussi ce qui, dans cette démonstration, reste admis.