$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ n'est pas connexe : le déterminant sépare, et le témoin se construit

Montrer que $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ n'est pas connexe, en exhibant une décomposition en deux ouverts non vides disjoints.

⚠️ Le point qui demande du soin n'est pas la continuité du déterminant, mais la non-vacuité du morceau négatif. Exhiber une matrice, et dire pourquoi $-I_n$ ne convient pas toujours.