Soit
P∈R[X] un polynôme de degré
2p+1 (
p≥0) de coefficient dominant
a2p+1>0.
Montrer que limx→+∞P(x)=+∞ et limx→−∞P(x)=−∞.
En utilisant la connexité par arcs de R et le , montrer que P admet au moins une racine réelle.
Generaliser : montrer que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.
Ce résultat est-il vrai pour les polynômes de degré pair ? Justifier.