\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})

est connexe par arcs

$\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est connexe par arcs

Difficile

On note

\mathcal{S}_n = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : \det(M) = 0\}

l'ensemble des matrices singulières.

Montrer que pour toute

M \in \mathcal{S}_n

, le segment

[M, 0_n]

est inclus dans

\mathcal{S}_n

(ou

0_n

est la matrice nulle).

En déduire que

\mathcal{S}_n

est connexe par arcs.

\mathcal{S}_n

est-il un ouvert ? un fermé ? de

\mathcal{M}_n(\mathbb{R})

La solution est réservée aux abonnés

L'énoncé est en libre accès. Les indices progressifs et la solution détaillée sont réservés aux abonnés Premium.

\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})