Sur un OUVERT, connexe et connexe par arcs coïncident
Sur un OUVERT, connexe et connexe par arcs coïncident
Moyen
Soit Ω un ouvert de Rn.
Rappeler pourquoi « connexe par arcs ⟹ connexe » vaut sans l'hypothèse d'ouverture.
Réciproquement, montrer que si Ω est connexe alors Ω est connexe par arcs. (Indication : fixer a∈Ω et considérer l'ensemble U des points reliés à a par un chemin tracé dans Ω.)
En déduire l'équivalence sur un ouvert, et montrer par un exemple que l'hypothèse d'ouverture ne peut pas être supprimée.
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