Endomorphisme involutif

Difficile

Soit

E

\mathbb{R}

-espace vectoriel de dimension finie

n

f \in \mathcal{L}(E)

tel que

f^2 = \text{Id}_E

Montrer que

E = E_1 \oplus E_{-1}

E_1 = \ker(f - \text{Id})

E_{-1} = \ker(f + \text{Id})

\dim E_1 = p

, quelle est la matrice de

f

dans une adaptee ?

Montrer que

\text{tr}(f) \in \{-n, -n+2, \ldots, n-2, n\}

En déduire que

\det(f) = (-1)^{n-p}

La solution est réservée aux abonnés

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Endomorphisme involutif

Difficile

Soit

E

\mathbb{R}

-espace vectoriel de dimension finie

n

f \in \mathcal{L}(E)

tel que

f^2 = \text{Id}_E

Montrer que

E = E_1 \oplus E_{-1}

E_1 = \ker(f - \text{Id})

E_{-1} = \ker(f + \text{Id})

\dim E_1 = p

, quelle est la matrice de

f

dans une adaptee ?

Montrer que

\text{tr}(f) \in \{-n, -n+2, \ldots, n-2, n\}

En déduire que

\det(f) = (-1)^{n-p}

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