Topologie des espaces métriques pour la prépa

La topologie des espaces métriques fournit le cadre rigoureux pour parler de convergence, continuité et compacité. En CPGE, ces notions sont indispensables en analyse (fonctions de plusieurs variables, séries de fonctions) et apparaissent régulièrement aux concours.

Espaces métriques : définitions

Un espace métrique est un couple $(E, d)$ où $E$ est un ensemble et $d : E \times E \to \mathbb{R}^+$ vérifie :

Séparation : $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$

Symétrie : $d(x,y) = d(y,x)$

Inégalité triangulaire : $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$

Exemples fondamentaux :

• $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)$ avec $d(x,y) = \sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$
• $(\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ avec $d(f,g) = \sup_{[a,b]} |f-g|$
• $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_1)$ et $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_\infty)$

La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est $B(a,r) = \{x \in E \mid d(x,a) < r\}$.

Ouverts et fermés

Un ensemble $U \subset E$ est ouvert si pour tout $x \in U$, il existe $r > 0$ tel que $B(x,r) \subset U$. Intuitivement, on peut « bouger un peu » autour de chaque point sans sortir de $U$.

Un ensemble $F \subset E$ est fermé si son complémentaire $E \setminus F$ est ouvert. De manière équivalente, $F$ est fermé si et seulement si toute suite d'éléments de $F$ qui converge dans $E$ a sa limite dans $F$.

Propriétés :

• Toute union d'ouverts est ouverte ; toute intersection finie d'ouverts est ouverte
• Toute intersection de fermés est fermée ; toute union finie de fermés est fermée
• $\emptyset$ et $E$ sont à la fois ouverts et fermés

Exemple : dans $\mathbb{R}$, l'intervalle $]0, 1[$ est ouvert, $[0, 1]$ est fermé, et $[0, 1[$ n'est ni ouvert ni fermé.

L'adhérence $\overline{A}$ de $A$ est le plus petit fermé contenant $A$, et l'intérieur $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$.

Convergence et continuité

Une suite $(x_n)$ converge vers $\ell$ dans $(E, d)$ si $d(x_n, \ell) \to 0$. La limite, quand elle existe, est unique (grâce à la séparation).

Une application $f : (E_1, d_1) \to (E_2, d_2)$ est continue en $a$ si :

Caractérisation séquentielle : $f$ est continue en $a$ si et seulement si pour toute suite $x_n \to a$, on a $f(x_n) \to f(a)$.

Caractérisation topologique : $f$ est continue sur $E_1$ si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert de $E_2$ est un ouvert de $E_1$.

Complétude

Un espace métrique $(E, d)$ est complet si toute suite de Cauchy converge dans $E$. Une suite $(x_n)$ est de Cauchy si :

Toute suite convergente est de Cauchy, mais la réciproque n'est vraie que dans un espace complet.

Exemples :

• $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ est complet (propriété fondamentale de $\mathbb{R}$)
• $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$ n'est pas complet : la suite $x_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$ mais converge vers $e \notin \mathbb{Q}$
• $(\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ est complet
• $(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}), \|\cdot\|_1)$ n'est pas complet

Théorème du point fixe de Banach : si $(E, d)$ est complet et $f : E \to E$ est contractante ($\exists k < 1, \, d(f(x), f(y)) \leq k \cdot d(x,y)$), alors $f$ admet un unique point fixe.

Ce théorème est à la base de nombreuses démonstrations d'existence et d'unicité (Cauchy-Lipschitz, théorème des fonctions implicites).

Compacité

La compacité est l'une des notions les plus puissantes de la topologie. Un espace métrique $(K, d)$ est compact si de toute suite d'éléments de $K$, on peut extraire une sous-suite convergente dans $K$.

Autrement dit : $(K, d)$ est compact si et seulement si il est séquentiellement compact (en espace métrique, les deux notions coïncident).

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Toute suite bornée de $\mathbb{R}^n$ admet une sous-suite convergente. Autrement dit, les parties fermées et bornées de $\mathbb{R}^n$ sont compactes.

Théorème de Heine-Borel

Dans $\mathbb{R}^n$, un sous-ensemble $K$ est compact si et seulement si il est fermé et borné.

Attention : ce théorème est spécifique à $\mathbb{R}^n$ (ou plus généralement aux espaces de dimension finie). En dimension infinie, fermé et borné n'implique pas compact.

Contre-exemple : la boule unité fermée de $(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ est fermée et bornée mais pas compacte (la suite $f_n(x) = x^n$ n'admet pas de sous-suite uniformément convergente).

Propriétés des compacts

• Tout compact est fermé et borné
• L'image continue d'un compact est compacte
• Toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes
• Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (théorème de Heine)
• Tout compact est complet

Connexité

Un espace métrique $(E, d)$ est connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont $\emptyset$ et $E$.

De manière équivalente, $E$ est connexe si et seulement si on ne peut pas écrire $E = U_1 \cup U_2$ avec $U_1, U_2$ ouverts non vides disjoints.

Un sous-ensemble $A$ de $\mathbb{R}$ est connexe si et seulement si c'est un intervalle.

Connexité par arcs : $E$ est connexe par arcs si pour tous $a, b \in E$, il existe un chemin continu $\gamma : [0,1] \to E$ avec $\gamma(0) = a$ et $\gamma(1) = b$. La connexité par arcs implique la connexité (mais pas l'inverse en général).

Théorème des valeurs intermédiaires (version topologique) : l'image continue d'un connexe est connexe. Dans $\mathbb{R}$, cela redonne le TVI classique.

Équivalence des normes en dimension finie

Théorème : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. C'est-à-dire que si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes sur $\mathbb{R}^n$, il existe $c, C > 0$ tels que :

Conséquence fondamentale : en dimension finie, les notions topologiques (ouverts, convergence, continuité, compacité) ne dépendent pas du choix de la norme.

Ce théorème est faux en dimension infinie : $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ ne sont pas équivalentes sur $\mathcal{C}([0,1])$.

Applications aux concours

La topologie intervient dans de nombreux problèmes :

• Existence de minimum/maximum d'une fonction continue sur un compact
• Application du point fixe de Banach pour résoudre des équations
• Étude de la convergence uniforme via la métrique $\|\cdot\|_\infty$
• Démonstration de la continuité par la caractérisation séquentielle

---

Préparez vos concours sur PrepaMaths — cours complets en LaTeX, exercices corrigés, annales X/ENS/Centrale/Mines, flashcards, kholles virtuelles et tuteur IA. [Essai gratuit 7 jours →](/tarifs)