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Analyse9 min de lecture8 janvier 2026

Intégrales généralisées : convergence et calcul

intégralesconvergenceRiemann
Les intégrales généralisées (ou impropres) étendent la théorie de l'intégrale de Riemann aux intervalles non bornés ou aux fonctions non bornées. Elles sont omniprésentes aux concours : calcul de transformées, fonctions définies par des intégrales, convergence d'intégrales à paramètre.

Définition

Soit f:[a,b[→Rf : [a, b[ \to \mathbb{R} (ou C\mathbb{C}) continue par morceaux, avec b∈R∪{+∞}b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}.

L'intégrale ∫abf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt est dite convergente si la limite suivante existe et est finie :

∫abf(t) dt=lim⁡x→b−∫axf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\,dt

Si la limite n'existe pas ou est infinie, l'intégrale est divergente.

On traite de même les singularités en borne inférieure (ff définie sur ]a,b]]a, b]) ou les singularités intérieures (on découpe l'intégrale).

Intégrales de référence

Intégrales de Riemann

∫1+∞dttαconverge⇔α>1\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} \quad \text{converge} \Leftrightarrow \alpha > 1

∫01dttαconverge⇔α<1\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} \quad \text{converge} \Leftrightarrow \alpha < 1

Intégrales exponentielles

∫0+∞e−αt dt=1αpour α>0\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,dt = \frac{1}{\alpha} \quad \text{pour } \alpha > 0

Plus généralement, ∫0+∞tβe−αt dt\int_0^{+\infty} t^\beta e^{-\alpha t}\,dt converge pour tout β∈R\beta \in \mathbb{R} et α>0\alpha > 0 : l'exponentielle l'emporte toujours sur la puissance.

Critères de convergence pour les fonctions positives

Comparaison directe

Si 0≤f(t)≤g(t)0 \leq f(t) \leq g(t) au voisinage de bb :

  • Si ∫g\int g converge, alors ∫f\int f converge
  • Si ∫f\int f diverge, alors ∫g\int g diverge

Comparaison asymptotique

Si f(t)∼g(t)f(t) \sim g(t) quand t→bt \to b (avec f,g>0f, g > 0), alors ∫f\int f et ∫g\int g sont de même nature.

Si f(t)=O(g(t))f(t) = O(g(t)) ou f(t)=o(g(t))f(t) = o(g(t)) et ∫g\int g converge, alors ∫f\int f converge.

Exemple. Étudier ∫1+∞ln⁡tt2 dt\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,dt. On a ln⁡tt2=o(1t3/2)\frac{\ln t}{t^2} = o\left(\frac{1}{t^{3/2}}\right) car ln⁡tt1/2→0\frac{\ln t}{t^{1/2}} \to 0. Comme ∫1+∞dtt3/2\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{3/2}} converge (α=3/2>1\alpha = 3/2 > 1), l'intégrale converge.

Règles pratiques en +∞+\infty

Pour f(t)≥0f(t) \geq 0 :

  • Si tαf(t)→0t^\alpha f(t) \to 0 avec α>1\alpha > 1 : convergence
  • Si tαf(t)→ℓ>0t^\alpha f(t) \to \ell > 0 avec α≤1\alpha \leq 1 : divergence
  • Si tαf(t)→ℓ>0t^\alpha f(t) \to \ell > 0 avec α>1\alpha > 1 : convergence (et f(t)∼ℓtαf(t) \sim \frac{\ell}{t^\alpha})

Convergence absolue

L'intégrale ∫abf\int_a^b f est absolument convergente si ∫ab∣f∣\int_a^b |f| converge.

Théorème : la convergence absolue implique la convergence. La réciproque est fausse.

Exemple de convergence non absolue : l'intégrale de Dirichlet

∫0+∞sin⁡tt dt=π2\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2}
converge (par le critère d'Abel), mais ∫0+∞∣sin⁡t∣t dt=+∞\int_0^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt = +\infty (car ∣sin⁡t∣t≥sin⁡2tt=1−cos⁡2t2t\frac{|\sin t|}{t} \geq \frac{\sin^2 t}{t} = \frac{1 - \cos 2t}{2t} et ∫dtt\int \frac{dt}{t} diverge).

Critères d'Abel et de Dirichlet

Ces critères sont essentiels pour les intégrales semi-convergentes (convergentes mais pas absolument).

Critère d'Abel

Si ff est de classe C1\mathcal{C}^1, monotone, bornée sur [a,+∞[[a, +\infty[, et si ∫a+∞g\int_a^{+\infty} g converge, alors ∫a+∞fg\int_a^{+\infty} fg converge.

Critère de Dirichlet

Si ff est de classe C1\mathcal{C}^1, monotone, et f(t)→0f(t) \to 0 quand t→+∞t \to +\infty, et si G(x)=∫axg(t) dtG(x) = \int_a^x g(t)\,dt est bornée, alors ∫a+∞fg\int_a^{+\infty} fg converge.

Application : ∫1+∞sin⁡ttα dt\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^\alpha}\,dt converge pour tout α>0\alpha > 0 (Dirichlet avec f(t)=t−αf(t) = t^{-\alpha} et g(t)=sin⁡tg(t) = \sin t).

La fonction Gamma

La fonction Gamma d'Euler est définie pour x>0x > 0 par :

Γ(x)=∫0+∞tx−1e−t dt\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,dt

Convergence : en 00, tx−1e−t∼tx−1t^{x-1} e^{-t} \sim t^{x-1}, intégrable si x−1>−1x - 1 > -1, soit x>0x > 0. En +∞+\infty, la décroissance exponentielle assure la convergence.

Propriétés :

  • Γ(1)=1\Gamma(1) = 1
  • Γ(x+1)=x⋅Γ(x)\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x) (intégration par parties)
  • Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n! pour n∈Nn \in \mathbb{N}
  • Γ(1/2)=π\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} (intégrale de Gauss)

La relation fonctionnelle Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) fait de Γ\Gamma une extension continue de la factorielle.

Intégrales à paramètre (aperçu)

Soit F(x)=∫abf(x,t) dtF(x) = \int_a^b f(x, t)\,dt une intégrale dépendant du paramètre xx.

Continuité : si ff est continue en (x,t)(x, t) et s'il existe une domination ∣f(x,t)∣≤g(t)|f(x, t)| \leq g(t) avec ∫g<∞\int g < \infty (indépendante de xx), alors FF est continue.

Dérivation : si de plus ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x} existe, est continue, et est dominée, alors FF est C1\mathcal{C}^1 et :

F′(x)=∫ab∂f∂x(x,t) dtF'(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,dt

Méthodes de calcul

Intégration par parties généralisée

∫abf′g=[fg]ab−∫abfg′\int_a^b f'g = [fg]_a^b - \int_a^b fg'

La notation [fg]ab[fg]_a^b signifie lim⁡x→b−f(x)g(x)−f(a)g(a)\lim_{x \to b^-} f(x)g(x) - f(a)g(a), qui doit exister.

Changement de variable

Pour ∫0+∞e−t2 dt\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt (intégrale de Gauss), le changement t=ut = \sqrt{u} donne :

∫0+∞e−t2 dt=∫0+∞e−u2u du=12Γ(12)=π2\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-u}}{2\sqrt{u}}\,du = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

Dérivation sous le signe intégral

Pour calculer ∫0+∞e−at−e−btt dt\int_0^{+\infty} \frac{e^{-at} - e^{-bt}}{t}\,dt avec 0<a<b0 < a < b, on pose F(s)=∫0+∞e−stt⋅t dtF(s) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-st}}{t} \cdot t\,dt n'est pas la bonne approche. On utilise plutôt la relation :

e−at−e−btt=∫abe−st ds\frac{e^{-at} - e^{-bt}}{t} = \int_a^b e^{-st}\,ds

puis on intervertit (Fubini) :

∫0+∞e−at−e−btt dt=∫abdss=ln⁡ba\int_0^{+\infty} \frac{e^{-at} - e^{-bt}}{t}\,dt = \int_a^b \frac{ds}{s} = \ln\frac{b}{a}

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