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Analyse9 min de lecture10 février 2026

Suites et séries de fonctions : convergence uniforme

convergenceuniformenormale
La convergence des suites et séries de fonctions est un chapitre fondamental de l'analyse. La distinction entre convergence simple et uniforme est au cœur de nombreuses questions de concours : peut-on intervertir limites, dérivées et intégrales ?

Convergence simple

Soit (fn)(f_n) une suite de fonctions de I⊂RI \subset \mathbb{R} dans R\mathbb{R}. On dit que (fn)(f_n) converge simplement vers ff sur II si :

∀x∈I,fn(x)→n→∞f(x)\forall x \in I, \quad f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} f(x)

Autrement dit, pour chaque xx fixé, la suite numérique (fn(x))(f_n(x)) converge vers f(x)f(x).

Exemple. fn(x)=xnf_n(x) = x^n sur [0,1][0, 1]. Pour x∈[0,1[x \in [0, 1[, fn(x)→0f_n(x) \to 0. Pour x=1x = 1, fn(1)=1→1f_n(1) = 1 \to 1. La limite simple est :

f(x)={0si x∈[0,1[1si x=1f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[ \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}

Chaque fnf_n est continue, mais la limite ff ne l'est pas ! La convergence simple ne préserve pas la continuité.

Convergence uniforme

La suite (fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur II si :

∥fn−f∥∞=sup⁡x∈I∣fn(x)−f(x)∣→n→∞0\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow{n \to \infty} 0

La différence avec la convergence simple est cruciale : ici, la vitesse de convergence est uniforme en xx.

Formellement :

∀ε>0,∃N∈N,∀n≥N,∀x∈I,∣fn(x)−f(x)∣<ε\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \forall x \in I, \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon

Le quantificateur ∀x\forall x est après ∃N\exists N : le même NN convient pour tous les xx.

Retour à l'exemple : ∥fn−f∥∞,[0,1]=sup⁡x∈[0,1[xn=1\|f_n - f\|_{\infty, [0,1]} = \sup_{x \in [0,1[} x^n = 1 (sup atteint à la limite en x→1−x \to 1^-). La convergence n'est pas uniforme sur [0,1][0,1].

En revanche, sur [0,a][0, a] avec 0<a<10 < a < 1 : ∥fn−f∥∞=an→0\|f_n - f\|_{\infty} = a^n \to 0, donc la convergence est uniforme sur [0,a][0, a].

Théorèmes d'interversion fondamentaux

Limite et continuité

Théorème : si (fn)(f_n) est une suite de fonctions continues sur II qui converge uniformément vers ff sur II, alors ff est continue sur II.

C'est la propriété la plus importante de la convergence uniforme. On peut l'écrire symboliquement :

lim⁡x→alim⁡n→∞fn(x)=lim⁡n→∞lim⁡x→afn(x)\lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x)

sous l'hypothèse de convergence uniforme.

Limite et intégrale

Théorème : si (fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur [a,b][a, b] (segment), alors :

lim⁡n→∞∫abfn(t) dt=∫abf(t) dt\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(t)\,dt = \int_a^b f(t)\,dt

Attention : sur un intervalle non borné, la convergence uniforme ne suffit pas pour intervertir. Il faut utiliser le théorème de convergence dominée.

Limite et dérivée

Théorème : si (fn)(f_n) est une suite de fonctions C1\mathcal{C}^1 sur II telle que :

  • (fn)(f_n) converge simplement en au moins un point de II
  • (fn′)(f_n') converge uniformément sur II

    • Alors (fn)(f_n) converge uniformément sur tout segment de II vers une fonction f∈C1f \in \mathcal{C}^1, et f′=lim⁡fn′f' = \lim f_n'.

    L'hypothèse clé porte sur la convergence uniforme des dérivées, pas des fonctions elles-mêmes.

    Séries de fonctions

    Pour une série de fonctions ∑fn\sum f_n, les notions se transposent via les sommes partielles SN=∑n=0NfnS_N = \sum_{n=0}^N f_n.

    Convergence normale

    La série ∑fn\sum f_n converge normalement sur II si :

    ∑n=0+∞∥fn∥∞<+∞ouˋ ∥fn∥∞=sup⁡x∈I∣fn(x)∣\sum_{n=0}^{+\infty} \|f_n\|_\infty < +\infty \quad \text{où } \|f_n\|_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x)|

    La convergence normale implique la convergence uniforme, qui implique la convergence simple.

    Critère de Weierstrass (M-test)

    Si ∣fn(x)∣≤Mn|f_n(x)| \leq M_n pour tout x∈Ix \in I et si ∑Mn<+∞\sum M_n < +\infty, alors ∑fn\sum f_n converge normalement sur II.

    Exemple. La série ∑n=1+∞cos⁡(nx)n2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} converge normalement sur R\mathbb{R} car :

    ∣cos⁡(nx)n2∣≤1n2et∑1n2<+∞\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2} \quad \text{et} \quad \sum \frac{1}{n^2} < +\infty

    Sa somme est donc continue sur R\mathbb{R}.

    Convergence uniforme sans convergence normale

    La convergence normale est suffisante mais pas nécessaire. La série ∑n=1+∞(−1)nnxn\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} x^n converge uniformément sur [0,1][0, 1] (par le critère d'Abel uniforme), mais pas normalement car ∑1n=+∞\sum \frac{1}{n} = +\infty.

    Applications

    Interversion série-intégrale

    Si ∑fn\sum f_n converge normalement sur [a,b][a, b] :

    ∫ab(∑n=0+∞fn(t))dt=∑n=0+∞∫abfn(t) dt\int_a^b \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\right)dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(t)\,dt

    Interversion série-dérivée

    Si chaque fn∈C1f_n \in \mathcal{C}^1, si ∑fn\sum f_n converge simplement en un point et ∑fn′\sum f_n' converge uniformément, alors :

    (∑n=0+∞fn)′=∑n=0+∞fn′\left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n\right)' = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n'

    Théorème de Stone-Weierstrass

    Théorème (Weierstrass) : toute fonction continue sur [a,b][a, b] est limite uniforme de polynômes.

    Autrement dit, l'ensemble des polynômes est dense dans (C([a,b],R),∥⋅∥∞)(\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty).

    Ce résultat admet une généralisation puissante (Stone-Weierstrass) : toute sous-algèbre de C(K,R)\mathcal{C}(K, \mathbb{R}) (avec KK compact) qui sépare les points et contient les constantes est dense.

    Applications :

    • Approximation de fonctions continues par des polynômes (polynômes de Bernstein)
    • Les polynômes trigonométriques sont denses dans les fonctions continues 2π2\pi-périodiques
    • Unicité du développement en série de Fourier pour les fonctions continues

    Erreurs classiques à éviter

  • La convergence simple ne permet aucune interversion (ni limite, ni intégrale, ni dérivée)
  • La convergence uniforme sur un intervalle ouvert ou non borné ne suffit pas pour intervertir avec l'intégrale
  • Pour dériver terme à terme, c'est la convergence uniforme des dérivées qui compte, pas celle de la série elle-même
  • Convergence normale ⇒\Rightarrow convergence uniforme ⇒\Rightarrow convergence simple, et aucune réciproque

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