Séries entières : rayon, convergence et applications

Les séries entières constituent un outil fondamental de l'analyse, reliant algèbre (séries formelles) et analyse (convergence, fonctions). Elles interviennent dans la résolution d'équations différentielles, le calcul de sommes et la représentation de fonctions classiques.

Définition et rayon de convergence

Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ , où les $a_n$ sont des scalaires (réels ou complexes) et $z$ est la variable.

Le rayon de convergence $R$ est défini par :

R = \sup \left\{ r \geq 0 \mid (a_n r^n) \text{ est bornée} \right\}

On a $R \in [0, +\infty]$ et :

Si $|z| < R$ : la série converge absolument
Si $|z| > R$ : la série diverge grossièrement ( $a_n z^n \not\to 0$ )
Si $|z| = R$ : aucune conclusion générale (étude au cas par cas)

Règle de d'Alembert

Si $a_n \neq 0$ pour $n$ assez grand et si $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \ell$ , alors $R = \frac{1}{\ell}$ (avec la convention $R = +\infty$ si $\ell = 0$ et $R = 0$ si $\ell = +\infty$ ).

Exemple. Pour $\sum \frac{z^n}{n!}$ , on a $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{n+1} \to 0$ , donc $R = +\infty$ . On retrouve $e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$ pour tout $z \in \mathbb{C}$ .

Formule de Hadamard

Le résultat le plus général est :

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n}

Cette formule s'applique toujours, même quand la règle de d'Alembert échoue.

Exemple. Pour $a_n = \frac{1}{2^n}$ si $n$ est pair et $a_n = \frac{1}{3^n}$ si $n$ est impair, d'Alembert ne donne rien car le quotient oscille, mais Hadamard donne $\limsup |a_n|^{1/n} = \frac{1}{2}$ , donc $R = 2$ .

Théorème d'Abel radial

Théorème (Abel) : Si la série $\sum a_n R^n$ converge (en un point du cercle de convergence), alors :

\lim_{x \to R^-} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n R^n

Autrement dit, la somme de la série est continue à gauche au bord du disque de convergence.

Application classique. La série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$ a pour rayon $R = 1$ . En $x = 1$ , la série converge (alternée) vers $\ln 2$ . Par Abel :

\ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots

Convergence uniforme et normale

Sur tout disque fermé $\overline{D}(0, r)$ avec $r < R$ , la série entière converge normalement (donc uniformément) :

\sum_{n \geq 0} \sup_{|z| \leq r} |a_n z^n| = \sum_{n \geq 0} |a_n| r^n < +\infty

Cette propriété est essentielle : elle permet d'affirmer que la somme $S(z) = \sum a_n z^n$ est continue sur le disque ouvert $D(0, R)$ .

Attention : la convergence n'est en général pas uniforme sur tout $D(0, R)$ . On dit que la convergence est uniforme sur tout compact de $D(0,R)$ .

Dérivation et intégration terme à terme

C'est l'un des résultats les plus puissants des séries entières.

Théorème : La série $\sum a_n z^n$ et sa dérivée $\sum n a_n z^{n-1}$ ont le même rayon de convergence. De plus, sur $D(0,R)$ :

S'(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n z^{n-1}

Par récurrence, $S$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $D(0,R)$ et :

S^{(k)}(z) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k)!} a_n z^{n-k}

En évaluant en $z = 0$ : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$ , ce qui montre l'unicité du développement en série entière (DSE).

De même, on peut intégrer terme à terme :

\int_0^z S(t)\,dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} z^{n+1}

avec le même rayon de convergence.

Développements classiques

Voici les DSE à connaître par cœur :

e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}, \quad R = +\infty

\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n, \quad R = 1

\ln(1+z) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} z^n, \quad R = 1

\sin z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}, \quad R = +\infty

\cos z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}, \quad R = +\infty

(1+z)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} z^n, \quad R = 1 \text{ (si } \alpha \notin \mathbb{N}\text{)}

où $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ .

Applications aux équations différentielles

Les séries entières permettent de résoudre des EDO à coefficients variables. Pour $y'' - xy = 0$ (équation d'Airy), on cherche $y(x) = \sum a_n x^n$ :

\sum_{n \geq 2} n(n-1) a_n x^{n-2} - \sum_{n \geq 0} a_n x^{n+1} = 0

En réindexant et identifiant les coefficients :

a_{n+2} = \frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)} \quad \text{pour } n \geq 1, \quad a_2 = 0

Avec $a_0$ et $a_1$ comme paramètrès libres, on obtient deux solutions linéairement indépendantes, les fonctions d'Airy $\text{Ai}$ et $\text{Bi}$ .

Produit de Cauchy

Si $\sum a_n z^n$ (rayon $R_1$ ) et $\sum b_n z^n$ (rayon $R_2$ ) convergent absolument, leur produit est :

\left(\sum a_n z^n\right)\left(\sum b_n z^n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n, \quad c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

avec un rayon $\geq \min(R_1, R_2)$ . C'est le produit de Cauchy des séries.

Exemple : $e^z \cdot e^z = e^{2z}$ se retrouve en calculant $c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot \frac{1}{(n-k)!} = \frac{2^n}{n!}$ .

Conseils pour les concours

Toujours déterminer le rayon de convergence avant de manipuler la série
Sur le cercle de convergence, justifier soigneusement la convergence (Abel, alternée, comparaison)
Penser aux DSE pour calculer des sommes : identifier la fonction dont la somme est le DSE
Retenir que dérivation et intégration conservent le rayon

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Séries entières : rayon, convergence et applications

Définition et rayon de convergence

Règle de d'Alembert

Formule de Hadamard

Théorème d'Abel radial

Convergence uniforme et normale

Dérivation et intégration terme à terme

Développements classiques

Applications aux équations différentielles

Produit de Cauchy

Conseils pour les concours

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