Réduction des endomorphismes : guide complet CPGE

La réduction des endomorphismes est l'un des chapitres centraux de l'algèbre linéaire en CPGE. Elle intervient dans presque tous les sujets de concours, que ce soit en algèbre pure, en analyse matricielle ou en probabilités (chaînes de Markov). Ce guide couvre l'ensemble du programme, des valeurs propres à la forme de Jordan.

Valeurs propres et vecteurs propres

Soit $f$ un endomorphisme de $E$ (espace vectoriel de dimension finie $n$ sur $\mathbb{K}$). Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $f$ si :

Le vecteur $x$ est alors un vecteur propre associé à $\lambda$. L'ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$, complété par le vecteur nul, forme le sous-espace propre :

Propriété fondamentale : des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. En particulier, la somme des sous-espaces propres est directe :

Polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique de $f$ (ou de sa matrice $A$) est :

C'est un polynôme de degré $n$ dont les racines sont exactement les valeurs propres de $f$. On a toujours :

Exemple. Pour $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ :

Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 4$ (multiplicité algébrique 2) et $\lambda_2 = 2$ (multiplicité 1).

Polynôme minimal

Le polynôme minimal $\mu_f$ est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $f$. Il divise le polynôme caractéristique et a les mêmes racines :

Théorème de Cayley-Hamilton : $\chi_f(f) = 0$, autrement dit la matrice $A$ annule son propre polynôme caractéristique.

Pour l'exemple précédent, $\mu_A$ divise $(X-4)^2(X-2)$. En testant $(X-4)(X-2)$ :

Donc $\mu_A = (X-4)^2(X-2)$.

Diagonalisation

L'endomorphisme $f$ est diagonalisable si et seulement si l'une des conditions équivalentes est vérifiée :

Il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $f$

$E = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(f)} E_\lambda$ (la somme des sous-espaces propres est $E$ tout entier)

Pour chaque valeur propre, la multiplicité géométrique égale la multiplicité algébrique : $\dim E_\lambda = m_\lambda$

Le polynôme minimal est scindé à racines simples : $\mu_f = \prod (X - \lambda_i)$

Méthode de diagonalisation d'une matrice $A$ :

Calculer $\chi_A$ et trouver ses racines

Pour chaque valeur propre $\lambda$, calculer $E_\lambda = \ker(A - \lambda I)$

Vérifier que $\sum \dim E_\lambda = n$

Former la matrice de passage $P$ avec les vecteurs propres en colonnes

Alors $A = P D P^{-1}$ avec $D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

Exemple. Diagonalisons $B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$.

Deux valeurs propres simples : $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = -1$. La matrice est diagonalisable.

$E_2 = \ker(B - 2I) = \ker \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} = \text{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$E_{-1} = \ker(B + I) = \ker \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} = \text{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Donc $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} P^{-1}$.

Application : $B^n = P \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} P^{-1}$.

Trigonalisation

Quand $f$ n'est pas diagonalisable mais que $\chi_f$ est scindé sur $\mathbb{K}$, on peut trigonaliser : il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est triangulaire supérieure, avec les valeurs propres sur la diagonale.

Théorème : tout endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable.

Sur $\mathbb{R}$, la trigonalisation est possible si et seulement si $\chi_f$ est scindé dans $\mathbb{R}[X]$.

Décomposition de Dunford

Si $\chi_f$ est scindé, $f$ s'écrit de manière unique :

où $d$ est diagonalisable, $n$ est nilpotent, et $d \circ n = n \circ d$.

C'est la décomposition de Dunford. Elle se calcule via le lemme des noyaux : si $\chi_f = \prod (X - \lambda_i)^{\alpha_i}$, alors :

La partie diagonalisable $d$ vaut $\lambda_i \text{Id}$ sur chaque $\ker(f - \lambda_i \text{Id})^{\alpha_i}$, et $n = f - d$.

Forme de Jordan (pour aller plus loin)

La réduction de Jordan raffine la trigonalisation. Chaque bloc de Jordan a la forme :

La matrice de $f$ dans une base de Jordan est diagonale par blocs :

Le nombre de blocs de Jordan associés à $\lambda$ de taille $\geq j$ est $\dim \ker(f - \lambda \text{Id})^j - \dim \ker(f - \lambda \text{Id})^{j-1}$.

Résumé pratique pour les concours

| Question | Outil | |----------|-------| | $f$ est-il diagonalisable ? | Comparer $\dim E_\lambda$ et multiplicité algébrique | | Calculer $A^n$ | Diagonaliser ou décomposer Dunford | | $f$ est-il trigonalisable ? | $\chi_f$ scindé ? | | Commutant de $f$ | Utiliser la réduction pour décrire les endomorphismes commutant avec $f$ |

La maîtrise de ce chapitre demande de la pratique : entraînez-vous sur de nombreux exemples de matrices $3 \times 3$ et $4 \times 4$ pour automatiser les calculs.

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