Espaces préhilbertiens et projection orthogonale

Les espaces préhilbertiens généralisent la géométrie euclidienne à la dimension quelconque (y compris infinie). Le produit scalaire permet de définir angles, distances et orthogonalité, et la projection orthogonale est un outil central en analyse (approximation, moindres carrés) comme en algèbre.

Produit scalaire

Définition

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Un produit scalaire sur $E$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ :

Bilinéarité : linéaire en chaque variable

Symétrie : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$

Positivité : $\langle x, x \rangle \geq 0$

Définie : $\langle x, x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0$

Un espace muni d'un produit scalaire est un espace préhilbertien. S'il est de dimension finie, c'est un espace euclidien.

Exemples :

• Sur $\mathbb{R}^n$ : $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ (produit scalaire canonique)
• Sur $\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t)\,dt$
• Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : $\langle A, B \rangle = \text{tr}(A^T B)$

Norme associée

La norme euclidienne associée est $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$. Elle vérifie les propriétés d'une norme : positivité, homogénéité, inégalité triangulaire.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Théorème : pour tous $x, y \in E$ :

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration : pour $y \neq 0$, considérons $P(t) = \|x + ty\|^2 = \|x\|^2 + 2t\langle x,y\rangle + t^2\|y\|^2 \geq 0$ pour tout $t$. Ce trinôme en $t$ est positif, donc son discriminant est négatif :

L'égalité a lieu quand $P$ s'annule, c'est-à-dire quand $x + ty = 0$ pour un certain $t$.

Conséquence : l'inégalité triangulaire $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ découle de Cauchy-Schwarz.

Angle entre deux vecteurs

En dimension finie, on définit l'angle $\theta$ entre deux vecteurs non nuls par :

Cauchy-Schwarz garantit que $\cos \theta \in [-1, 1]$.

Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $x, y$ sont orthogonaux (noté $x \perp y$) si $\langle x, y \rangle = 0$.

Théorème de Pythagore : si $x \perp y$, alors $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$.

Familles orthogonales et orthonormées

Une famille $(e_1, \ldots, e_n)$ est :

• Orthogonale si $\langle e_i, e_j \rangle = 0$ pour $i \neq j$
• Orthonormée (ou orthonormale, ONF) si de plus $\|e_i\| = 1$, i.e. $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$

Propriété clé : toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. En effet, si $\sum \lambda_i e_i = 0$, en prenant le produit scalaire avec $e_k$ : $\lambda_k \|e_k\|^2 = 0$, donc $\lambda_k = 0$.

Coordonnées dans une base orthonormée

Si $(e_1, \ldots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$, alors pour tout $x \in E$ :

et $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle^2$ (identité de Parseval en dimension finie).

Procédé de Gram-Schmidt

Théorème : tout espace préhilbertien de dimension finie admet une base orthonormée. On la construit par le procédé de Gram-Schmidt.

Algorithme : à partir d'une base $(v_1, \ldots, v_n)$, on construit une base orthonormée $(e_1, \ldots, e_n)$ :

$e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}$

Pour $k = 2, \ldots, n$ :

- $w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i \rangle e_i$ (soustraction des projections) - $e_k = \frac{w_k}{\|w_k\|}$ (normalisation)

Propriété : pour tout $k$, $\text{Vect}(e_1, \ldots, e_k) = \text{Vect}(v_1, \ldots, v_k)$.

Exemple. Dans $\mathbb{R}^3$ avec le produit scalaire canonique, orthonormalisons $v_1 = (1, 1, 0)$, $v_2 = (1, 0, 1)$.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0)$

$w_2 = v_2 - \langle v_2, e_1 \rangle e_1 = (1, 0, 1) - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) = (1, 0, 1) - \frac{1}{2}(1, 1, 0) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$

$\|w_2\| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$, donc $e_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)$.

Projection orthogonale

Théorème de projection

Théorème : soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien $E$. Pour tout $x \in E$, il existe un unique $p_F(x) \in F$ tel que :

Ce vecteur $p_F(x)$ est la projection orthogonale de $x$ sur $F$, caractérisée par :

Calcul dans une base orthonormée

Si $(e_1, \ldots, e_r)$ est une base orthonormée de $F$, alors :

et la distance de $x$ à $F$ est :

Décomposition en somme directe orthogonale

En dimension finie : $E = F \oplus F^\perp$. Tout vecteur $x$ s'écrit de manière unique $x = p_F(x) + p_{F^\perp}(x)$.

Matrice de Gram et déterminant de Gram

La matrice de Gram d'une famille $(v_1, \ldots, v_k)$ est :

Le déterminant de Gram $\det G$ est strictement positif si et seulement si la famille est libre. Il mesure le « volume » du parallélotope engendré :

Moindres carrés

La projection orthogonale résout le problème des moindres carrés : trouver $x \in \mathbb{R}^n$ minimisant $\|Ax - b\|^2$ pour $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ et $b \in \mathbb{R}^m$.

La solution vérifie les équations normales :

Si $A$ est de rang $n$ (colonnes indépendantes), la solution est unique :

C'est la base de la régression linéaire : on cherche la droite (ou l'hyperplan) qui minimise la somme des carrés des résidus.

Application : approcher $f \in \mathcal{C}([0,1])$ par un polynôme de degré $\leq n$ au sens de $\|\cdot\|_2$ revient à projeter $f$ sur $\mathbb{R}_n[X]$ pour le produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int_0^1 fg$.

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