Algèbre bilinéaire et formes quadratiques

L'algèbre bilinéaire est un chapitre central du programme de deuxième année. Elle relie l'algèbre linéaire à la géométrie (produit scalaire, orthogonalité) et apparaît dans de nombreux sujets de concours, souvent en lien avec la réduction.

Formes bilinéaires

Définition

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Une forme bilinéaire sur $E$ est une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{K}$ qui est linéaire en chaque variable :

\varphi(\lambda x + \mu x', y) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x', y)

\varphi(x, \lambda y + \mu y') = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x, y')

La forme $\varphi$ est symétrique si $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ pour tous $x, y$ .

Matrice d'une forme bilinéaire

Dans une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ , la matrice de $\varphi$ est $M = (m_{ij})$ avec $m_{ij} = \varphi(e_i, e_j)$ .

Si $x = \sum x_i e_i$ et $y = \sum y_j e_j$ , alors :

\varphi(x, y) = X^T M Y

où $X$ et $Y$ sont les vecteurs colonnes des coordonnées.

La forme est symétrique si et seulement si $M$ est symétrique ( $M = M^T$ ).

Changement de base : si $P$ est la matrice de passage, la matrice de $\varphi$ dans la nouvelle base est $P^T M P$ .

Noyau et non-dégénérescence

Le noyau (ou radical) de $\varphi$ est :

\ker \varphi = \{x \in E \mid \forall y \in E, \, \varphi(x, y) = 0\}

La forme $\varphi$ est non dégénérée si $\ker \varphi = \{0\}$ , c'est-à-dire si $M$ est inversible.

Formes quadratiques

Définition et polarisation

Une forme quadratique sur $E$ est une application $q : E \to \mathbb{K}$ telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique $\varphi$ avec :

q(x) = \varphi(x, x)

La forme bilinéaire $\varphi$ se retrouve par la formule de polarisation :

\varphi(x, y) = \frac{1}{2}[q(x+y) - q(x) - q(y)]

(valable en caractéristique $\neq 2$ ).

Exemple. $q(x, y, z) = x^2 + 3y^2 - 2xy + 4xz$ est une forme quadratique sur $\mathbb{R}^3$ . Sa matrice dans la base canonique est :

M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Rang et noyau

Le rang de $q$ est le rang de la matrice $M$ (indépendant de la base). Le noyau de $q$ est celui de $\varphi$ .

Orthogonalité

Deux vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux (pour $\varphi$ ) si $\varphi(x, y) = 0$ . Un vecteur $x$ est isotrope si $q(x) = \varphi(x, x) = 0$ .

L'orthogonal d'un sous-espace $F$ est :

F^\perp = \{x \in E \mid \forall y \in F, \, \varphi(x, y) = 0\}

Attention : contrairement au cas des espaces préhilbertiens, on peut avoir $F \cap F^\perp \neq \{0\}$ (présence de vecteurs isotropes).

Réduction des formes quadratiques

Algorithme de Gauss

L'algorithme de Gauss permet de décomposer toute forme quadratique en somme de carrés de formes linéaires indépendantes :

q(x) = \lambda_1 L_1(x)^2 + \lambda_2 L_2(x)^2 + \cdots + \lambda_r L_r(x)^2

où les $L_i$ sont des formes linéaires linéairement indépendantes, $r = \text{rg}(q)$ , et $\lambda_i \neq 0$ .

Méthode :

S'il existe

i

tel que le coefficient de

x_i^2

est non nul, compléter le carré en

x_i

Sinon, effectuer un changement de variable

x_i = u + v

x_j = u - v

pour faire apparaître un carré

Itérer sur les variables restantes

Exemple. Réduisons $q(x, y) = 2xy$ .

Pas de terme carré, donc on pose $x = u + v$ , $y = u - v$ :

q = 2(u+v)(u-v) = 2u^2 - 2v^2

Donc $q$ est de signature $(1, 1)$ .

Bases orthogonales

L'algorithme de Gauss revient à trouver une base orthogonale pour $\varphi$ , c'est-à-dire une base $(e_1, \ldots, e_n)$ telle que $\varphi(e_i, e_j) = 0$ pour $i \neq j$ . Dans une telle base :

q\left(\sum x_i e_i\right) = \sum q(e_i) x_i^2

et la matrice de $\varphi$ est diagonale.

Théorème : toute forme quadratique sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie admet une base orthogonale.

Signature et loi d'inertie de Sylvester

Signature

La signature d'une forme quadratique réelle $q$ de rang $r$ est le couple $(p, q)$ où :

$p$ = nombre de $\lambda_i > 0$ dans la décomposition en carrés
$q$ = nombre de $\lambda_i < 0$
$p + q = r = \text{rg}(q)$

Loi d'inertie de Sylvester

Théorème (Sylvester) : la signature est un invariant de la forme quadratique, indépendant de la décomposition choisie.

Autrement dit, si $q = \sum_{i=1}^p L_i^2 - \sum_{j=1}^s M_j^2 = \sum_{i=1}^{p'} L_i'^2 - \sum_{j=1}^{s'} M_j'^2$ , alors $p = p'$ et $s = s'$ .

Classification

Deux formes quadratiques réelles sur $\mathbb{R}^n$ sont congruentes (équivalentes par changement de base) si et seulement si elles ont même signature. Il y a donc $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ classes de congruence.

Cas particuliers :

Définie positive : signature $(n, 0)$ , i.e. $q(x) > 0$ pour tout $x \neq 0$
Définie négative : signature $(0, n)$
Positive : signature $(p, 0)$ avec $p \leq n$

Critère de Sylvester (positivité)

Une forme quadratique réelle de matrice $M$ (symétrique) est définie positive si et seulement si tous les mineurs principaux dominants sont strictement positifs :

\Delta_1 = m_{11} > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{vmatrix} > 0, \quad \ldots, \quad \Delta_n = \det M > 0

Exemple. $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ : $\Delta_1 = 2 > 0$ , $\Delta_2 = 6 - 1 = 5 > 0$ . La forme est définie positive.

Lien avec les espaces préhilbertiens

Un produit scalaire sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive. La forme quadratique associée $q(x) = \langle x, x \rangle = \|x\|^2$ est alors une norme au carré.

Toute la théorie des espaces préhilbertiens (Cauchy-Schwarz, orthogonalité, Gram-Schmidt) repose sur cette structure d'algèbre bilinéaire.

Préparez vos concours sur PrepaMaths — cours complets en LaTeX, exercices corrigés, annales X/ENS/Centrale/Mines, flashcards, kholles virtuelles et tuteur IA. [Essai gratuit 7 jours →](/tarifs)