Groupes, anneaux, corps : structures algébriques

Les structures algébriques (groupes, anneaux, corps) forment le socle de l'algèbre moderne. En CPGE, elles interviennent principalement en algèbre linéaire (groupes de matrices, polynômes) et en arithmétique ($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, corps finis). La maîtrise de ces structures développe la rigueur et l'abstraction.

Groupes

Définition

Un groupe est un couple $(G, \star)$ où $G$ est un ensemble et $\star$ est une loi de composition interne vérifiant :

Associativité : $(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$

Élément neutre : $\exists e \in G, \forall a \in G, \, a \star e = e \star a = a$

Inverse : $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, \, a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$

Si de plus $a \star b = b \star a$ pour tous $a, b$, le groupe est abélien (ou commutatif).

Exemples fondamentaux :

• $(\mathbb{Z}, +)$ : groupe abélien, neutre $0$, inverse de $n$ est $-n$
• $(\mathbb{R}^*, \times)$ : groupe abélien multiplicatif
• $(\mathfrak{S}_n, \circ)$ : groupe symétrique (permutations de $\{1, \ldots, n\}$), non abélien pour $n \geq 3$
• $(GL_n(\mathbb{R}), \times)$ : groupe linéaire (matrices inversibles), non abélien pour $n \geq 2$

Sous-groupes

Un sous-ensemble $H \subset G$ est un sous-groupe si $(H, \star)$ est lui-même un groupe. Critère pratique : $H$ est un sous-groupe si et seulement si :

• $H \neq \emptyset$ (ou : $e \in H$)
• $\forall a, b \in H, \, a \star b^{-1} \in H$

Exemple. $n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$.

Ordre d'un élément

L'ordre d'un élément $a \in G$ est le plus petit entier $n \geq 1$ tel que $a^n = e$ (s'il existe), noté $\text{ord}(a)$. Si un tel $n$ n'existe pas, $a$ est d'ordre infini.

Propriété : $a^k = e$ si et seulement si $\text{ord}(a) \mid k$.

Théorème de Lagrange

Théorème : si $G$ est un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$, alors $|H|$ divise $|G|$.

Plus précisément : $|G| = |H| \cdot [G : H]$ où $[G : H]$ est l'indice de $H$ dans $G$ (nombre de classes à gauche).

Corollaire : l'ordre de tout élément de $G$ divise $|G|$. En particulier, $a^{|G|} = e$ pour tout $a \in G$.

Application : si $|G| = p$ est premier, alors $G$ est cyclique (engendré par n'importe quel élément $\neq e$). En effet, l'ordre de $a \neq e$ divise $p$, donc vaut $p$.

Morphismes de groupes

Un morphisme de groupes est une application $\varphi : (G, \star) \to (G', \star')$ telle que :

Le noyau $\ker \varphi = \{a \in G \mid \varphi(a) = e'\}$ est un sous-groupe de $G$.

L'image $\text{Im} \, \varphi = \{\varphi(a) \mid a \in G\}$ est un sous-groupe de $G'$.

$\varphi$ est injectif si et seulement si $\ker \varphi = \{e\}$.

Groupes quotients

Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$ (i.e. $gHg^{-1} = H$ pour tout $g$, noté $H \trianglelefteq G$), on peut former le groupe quotient $G/H$ dont les éléments sont les classes $gH$.

Théorème d'isomorphisme : si $\varphi : G \to G'$ est un morphisme, alors $\ker \varphi \trianglelefteq G$ et $G/\ker \varphi \simeq \text{Im} \, \varphi$.

Anneaux

Définition

Un anneau est un triplet $(A, +, \times)$ tel que :

$(A, +)$ est un groupe abélien

$\times$ est associative et possède un élément neutre $1_A$

$\times$ est distributive par rapport à $+$

Si $\times$ est commutative, l'anneau est commutatif.

Exemples : $(\mathbb{Z}, +, \times)$, $(\mathbb{K}[X], +, \times)$, $(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), +, \times)$ (non commutatif pour $n \geq 2$).

Diviseurs de zéro et intégrité

Un élément $a \neq 0$ est un diviseur de zéro s'il existe $b \neq 0$ tel que $ab = 0$.

Un anneau commutatif intègre est un anneau sans diviseur de zéro. Exemples : $\mathbb{Z}$, $\mathbb{K}[X]$.

Contre-exemple : dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $\bar{2} \cdot \bar{3} = \bar{0}$, donc $\bar{2}$ est diviseur de zéro.

Idéaux

Un idéal de $A$ (commutatif) est un sous-groupe $(I, +)$ de $(A, +)$ tel que $AI \subset I$ (stable par multiplication par tout élément de $A$).

L'idéal principal engendré par $a$ est $aA = \{ab \mid b \in A\}$, noté $(a)$.

$\mathbb{Z}$ est un anneau principal : tout idéal de $\mathbb{Z}$ est de la forme $n\mathbb{Z}$. De même, $\mathbb{K}[X]$ est principal.

L'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

L'anneau quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ a pour éléments les classes $\bar{0}, \bar{1}, \ldots, \overline{n-1}$ avec l'arithmétique modulo $n$.

Propriétés :

• $\bar{a}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si et seulement si $\gcd(a, n) = 1$
• Le groupe des inversibles $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ a pour cardinal $\varphi(n)$ (indicatrice d'Euler)
• Théorème d'Euler : si $\gcd(a, n) = 1$, alors $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$

Théorème chinois : si $\gcd(m, n) = 1$, alors $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (isomorphisme d'anneaux).

Corps

Définition

Un corps est un anneau commutatif $(K, +, \times)$ dans lequel tout élément non nul est inversible : $K^\times = K \setminus \{0\}$.

De manière équivalente : $(K^\times, \times)$ est un groupe.

Exemples : $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (pour $p$ premier).

Corps finis

Théorème : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.

Plus généralement, pour tout premier $p$ et tout entier $k \geq 1$, il existe (à isomorphisme près) un unique corps à $q = p^k$ éléments, noté $\mathbb{F}_q$.

Propriété : le groupe multiplicatif $\mathbb{F}_q^\times$ est cyclique d'ordre $q - 1$.

Application (petit théorème de Fermat) : pour $p$ premier et $a \not\equiv 0 \pmod{p}$ :

C'est un cas particulier du théorème de Lagrange appliqué à $\mathbb{F}_p^\times$.

Caractéristique

La caractéristique d'un corps $K$ est le plus petit entier $p > 0$ tel que $\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{p} = 0$ dans $K$, ou 0 si un tel entier n'existe pas.

La caractéristique est toujours 0 ou un nombre premier. $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ sont de caractéristique 0. $\mathbb{F}_p$ est de caractéristique $p$.

Résumé des liens entre structures

Un anneau commutatif intègre fini est nécessairement un corps (théorème important).

Un anneau principal intègre possède une arithmétique analogue à celle de $\mathbb{Z}$ : pgcd, ppcm, factorisation en irréductibles (unique à association près).

---

Préparez vos concours sur PrepaMaths — cours complets en LaTeX, exercices corrigés, annales X/ENS/Centrale/Mines, flashcards, kholles virtuelles et tuteur IA. [Essai gratuit 7 jours →](/tarifs)