Équations différentielles : résolution complète

Les équations différentielles ordinaires (EDO) sont un outil fondamental en mathématiques et en physique. Leur résolution fait appel à l'algèbre linéaire, l'analyse et parfois les séries entières. Ce chapitre est incontournable aux concours.

EDO linéaires du premier ordre

Forme générale

où $a$ et $b$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I$.

Équation homogène

L'équation homogène $y' + a(t)y = 0$ a pour solutions :

L'ensemble des solutions forme un espace vectoriel de dimension 1.

Variation de la constante

Pour résoudre l'équation complète, on cherche une solution particulière sous la forme $y_p(t) = C(t) \exp(-A(t))$ où $A(t) = \int_{t_0}^t a(s)\,ds$.

En substituant : $C'(t) = b(t) e^{A(t)}$, d'où :

La solution générale est $y = y_h + y_p$.

Exemple. Résoudre $y' - 2ty = t$ sur $\mathbb{R}$.

Homogène : $y_h = Ce^{t^2}$. Variation de la constante : $C'(t) = te^{-t^2}$, donc $C(t) = -\frac{1}{2}e^{-t^2}$.

Solution particulière : $y_p = -\frac{1}{2}e^{-t^2} \cdot e^{t^2} = -\frac{1}{2}$.

Solution générale : $y(t) = Ce^{t^2} - \frac{1}{2}$.

EDO linéaires du second ordre à coefficients constants

Forme générale

Équation caractéristique

L'équation homogène $ay'' + by' + cy = 0$ est résolue via l'équation caractéristique :

Trois cas selon le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :

Cas 1 : $\Delta > 0$ — deux racines réelles $r_1 \neq r_2$ :

Cas 2 : $\Delta = 0$ — racine double $r_0 = -\frac{b}{2a}$ :

Cas 3 : $\Delta < 0$ — racines complexes $r = \alpha \pm i\beta$ :

Recherche de solution particulière

Pour $f(t) = P(t) e^{\gamma t}$ (polynôme $\times$ exponentielle), on cherche $y_p$ sous la forme :

où $\deg Q = \deg P$ et $m$ est la multiplicité de $\gamma$ comme racine de l'équation caractéristique (0, 1 ou 2).

Exemple. Résoudre $y'' + y = \cos t$.

Équation caractéristique : $r^2 + 1 = 0$, racines $r = \pm i$. Homogène : $y_h = C_1 \cos t + C_2 \sin t$.

Pour le second membre $\cos t = \text{Re}(e^{it})$, on a $\gamma = i$ qui est racine simple. On cherche $y_p = \text{Re}(t \cdot A e^{it})$ avec $A \in \mathbb{C}$.

En substituant $z = Ate^{it}$ dans $z'' + z = e^{it}$ : $A(2ie^{it}) = e^{it}$, donc $A = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}$.

Solution générale : $y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t + \frac{t}{2} \sin t$.

Variation des constantes (second ordre)

Pour un second membre quelconque, on utilise la variation des constantes. Si $y_1, y_2$ sont deux solutions indépendantes de l'homogène, on cherche :

avec la condition $u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0$. Cela mène au système :

dont le déterminant est le wronskien $W(t) = y_1 y_2' - y_2 y_1'$.

Théorème de Cauchy-Lipschitz

Énoncé

Soit $f : I \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ continue et localement lipschitzienne en $y$ : pour tout compact $K \subset I \times \mathbb{R}^n$, il existe $L > 0$ tel que :

Alors pour tout $(t_0, y_0) \in I \times \mathbb{R}^n$, le problème de Cauchy :

admet une unique solution maximale.

Cas linéaire

Pour l'EDO linéaire $Y'(t) = A(t)Y(t) + B(t)$ avec $A$ et $B$ continues sur $I$, la solution maximale est définie sur $I$ tout entier (pas d'explosion en temps fini).

L'ensemble des solutions de l'homogène forme un espace vectoriel de dimension $n$ (si $Y \in \mathbb{R}^n$).

Systèmes différentiels linéaires

Forme matricielle

Le système $Y' = AY$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ constante se résout par l'exponentielle de matrice :

où $e^{tA} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(tA)^k}{k!}$.

Calcul pratique de $e^{tA}$

• Si $A$ est diagonalisable : $A = PDP^{-1}$, donc $e^{tA} = P e^{tD} P^{-1}$ avec $e^{tD} = \text{diag}(e^{t\lambda_1}, \ldots, e^{t\lambda_n})$.
• Si $A = D + N$ (Dunford) : $e^{tA} = e^{tD} \cdot e^{tN}$ (car $D$ et $N$ commutent), et $e^{tN}$ est un polynôme en $t$ car $N$ est nilpotent.

Exemple. Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I + N$ avec $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ :

Portraits de phase (dimension 2)

Pour $Y' = AY$ en dimension 2, la nature du portrait de phase dépend des valeurs propres de $A$ :

• Nœud stable : deux valeurs propres réelles négatives
• Nœud instable : deux valeurs propres réelles positives
• Point selle : valeurs propres de signes opposés
• Foyer : valeurs propres complexes à partie réelle non nulle
• Centre : valeurs propres purement imaginaires ($\pm i\omega$)

La stabilité de l'origine dépend du signe des parties réelles : l'origine est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie réelle strictement négative.

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