Probabilités et dénombrement en CPGE

Les probabilités et le dénombrement sont devenus incontournables aux concours. Ils interviennent dans des problèmes autonomes mais aussi en combinaison avec l'algèbre (matrices stochastiques) ou l'analyse (fonctions génératrices, séries). Ce cours couvre le programme de CPGE en profondeur.

Dénombrement : les principes fondamentaux

Principe additif et multiplicatif

Principe additif : si $A$ et $B$ sont disjoints, $|A \cup B| = |A| + |B|$
Principe multiplicatif : si un choix se décompose en $k$ étapes indépendantes avec $n_1, n_2, \ldots, n_k$ possibilités, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$

Arrangements et combinaisons

Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ (ordre compte, sans répétition) :

A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}

Le nombre de combinaisons (ordre ne compte pas) :

\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}

Formule du binôme de Newton :

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}

En prenant $a = b = 1$ : $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ .

Formule du multinôme

Plus généralement :

(x_1 + x_2 + \cdots + x_r)^n = \sum_{\substack{k_1 + \cdots + k_r = n \\ k_i \geq 0}} \frac{n!}{k_1! \cdots k_r!} x_1^{k_1} \cdots x_r^{k_r}

Principes avancés

Tirages avec remise : $n$ objets, $p$ tirages → $n^p$ possibilités
Étoiles et barres : le nombre de solutions entières de $x_1 + \cdots + x_r = n$ avec $x_i \geq 0$ est $\binom{n+r-1}{r-1}$
Principe d'inclusion-exclusion : $|A_1 \cup \cdots \cup A_n| = \sum |A_i| - \sum |A_i \cap A_j| + \cdots + (-1)^{n+1} |A_1 \cap \cdots \cap A_n|$

Espaces probabilisés

Un espace probabilisé fini est un triplet $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ où $\Omega$ est un ensemble fini et $P$ est une probabilité : $P(\Omega) = 1$ et $P$ est additive.

Dans le cas équiprobable (expérience « au hasard ») : $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ .

Exemple. On lance deux dés. $\Omega = \{1, \ldots, 6\}^2$ , $|\Omega| = 36$ . La probabilité que la somme soit 7 :

P(S = 7) = \frac{|\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}|}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ (avec $P(B) > 0$ ) :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Formule des probabilités totales : si $(B_1, \ldots, B_n)$ est un système complet d'événements :

P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \mid B_i) P(B_i)

Formule de Bayes :

P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j) P(B_j)}{\sum_{i=1}^n P(A \mid B_i) P(B_i)}

Exemple classique. Un test de dépistage a une sensibilité de 95% ( $P(+ \mid M) = 0.95$ ) et une spécificité de 90% ( $P(- \mid \overline{M}) = 0.90$ ). Si la prévalence est 1% ( $P(M) = 0.01$ ), alors :

P(M \mid +) = \frac{0.95 \times 0.01}{0.95 \times 0.01 + 0.10 \times 0.99} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 8.8\%

Un résultat contre-intuitif mais fondamental.

Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

Attention : indépendance $\neq$ incompatibilité ! Si $A$ et $B$ sont incompatibles et de probabilité non nulle, ils ne sont jamais indépendants (car $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)$ ).

Pour une famille $(A_i)_{i \in I}$ , l'indépendance mutuelle requiert : pour toute partie finie $J \subset I$ ,

P\left(\bigcap_{j \in J} A_j\right) = \prod_{j \in J} P(A_j)

L'indépendance deux à deux ne suffit pas pour l'indépendance mutuelle.

Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire (v.a.) $X$ sur $(\Omega, P)$ est une application $X : \Omega \to E$ . Sa loi est la probabilité image $P_X(\{x\}) = P(X = x)$ .

Espérance, variance

L'espérance : $E[X] = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X = x)$

La variance : $\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$

Linéarité : $E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ (toujours, même sans indépendance).

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ .

Lois classiques

| Loi | Notation | $P(X = k)$ | $E[X]$ | $\text{Var}(X)$ | |-----|----------|------------|---------|-----------------| | Bernoulli | $\mathcal{B}(p)$ | $p^k(1-p)^{1-k}$ , $k \in \{0,1\}$ | $p$ | $p(1-p)$ | | Binomiale | $\mathcal{B}(n,p)$ | $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ | | Géométrique | $\mathcal{G}(p)$ | $(1-p)^{k-1}p$ , $k \geq 1$ | $\frac{1}{p}$ | $\frac{1-p}{p^2}$ | | Poisson | $\mathcal{P}(\lambda)$ | $e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |

Propriété de la loi géométrique (absence de mémoire) : $P(X > m+n \mid X > m) = P(X > n)$ .

Fonctions génératrices

La fonction génératrice de $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ est :

G_X(s) = E[s^X] = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X = k) s^k

Elle caractérise la loi et simplifie les calculs : $E[X] = G_X'(1)$ , $\text{Var}(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2$ .

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $G_{X+Y} = G_X \cdot G_Y$ .

Exemple : si $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ , $G_X(s) = e^{\lambda(s-1)}$ . Donc $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$ si $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$ indépendante.

Inégalités fondamentales

Markov : $P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}$ pour $X \geq 0$ et $a > 0$
Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - E[X]| \geq a) \leq \frac{\text{Var}(X)}{a^2}$

Ces inégalités conduisent à la loi faible des grands nombres : si $X_1, \ldots, X_n$ sont i.i.d. d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ , alors $\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum X_i$ vérifie :

P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0

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