Géométrie affine et euclidienne en prépa

La géométrie affine et euclidienne formalise les intuitions géométriques dans le cadre de l'algèbre linéaire. En CPGE, ces notions interviennent dans les problèmes de géométrie pure mais aussi en algèbre (isométries, formes quadratiques) et en analyse (courbes).

Espaces affines

Définition

Un espace affine $\mathcal{E}$ de direction $E$ (espace vectoriel sur $\mathbb{K}$) est un ensemble muni d'une action simplement transitive de $(E, +)$ : pour tous points $A, B \in \mathcal{E}$, il existe un unique vecteur $\vec{AB} \in E$ tel que $B = A + \vec{AB}$.

Les axiomes sont :

$\vec{AA} = \vec{0}$ pour tout $A$

Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Pour tout $A \in \mathcal{E}$ et tout $\vec{u} \in E$, il existe un unique $B$ tel que $\vec{AB} = \vec{u}$

L'espace $\mathbb{R}^n$ est naturellement un espace affine de direction $\mathbb{R}^n$.

Sous-espaces affines

Un sous-espace affine de $\mathcal{E}$ est un ensemble de la forme :

où $A \in \mathcal{E}$ et $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (la direction de $\mathcal{F}$).

La dimension de $\mathcal{F}$ est celle de $F$. Les sous-espaces affines de dimension 0, 1, 2 sont respectivement des points, des droites et des plans.

Deux sous-espaces affines sont parallèles si la direction de l'un est incluse dans celle de l'autre.

Barycentres

Le barycentre de points pondérés $(A_1, \lambda_1), \ldots, (A_n, \lambda_n)$ avec $\sum \lambda_i \neq 0$ est l'unique point $G$ tel que :

soit encore, dans un repère d'origine $O$ :

Propriété d'associativité : on peut regrouper les points en sous-systèmes et prendre le barycentre par étapes, ce qui est très utile en pratique.

Exemple. Le centre de gravité d'un triangle $ABC$ est $G = \text{bar}\{(A, 1), (B, 1), (C, 1)\}$, vérifiant $\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$.

Applications affines

Une application $f : \mathcal{E}_1 \to \mathcal{E}_2$ est affine s'il existe une application linéaire $\vec{f} : E_1 \to E_2$ (la partie linéaire) telle que :

En coordonnées, si $f$ a pour partie linéaire la matrice $A$ et si $f(O) = B$, alors $f(M) = AM + B$ : c'est une application affine au sens classique.

Propriétés :

• La composée d'applications affines est affine
• $f$ est bijective si et seulement si $\vec{f}$ est bijective
• $f$ conserve les barycentres : $f(\text{bar}(A_i, \lambda_i)) = \text{bar}(f(A_i), \lambda_i)$
• $f$ envoie droites sur droites (ou points) et parallèles sur parallèles

Translations et homothéties

• Translation de vecteur $\vec{u}$ : $t_{\vec{u}}(M) = M + \vec{u}$, partie linéaire $= \text{Id}$
• Homothétie de centre $\Omega$ et rapport $k \neq 0$ : $h_{\Omega,k}(M)$ défini par $\overrightarrow{\Omega h(M)} = k \overrightarrow{\Omega M}$

Structure euclidienne

Un espace euclidien est un espace affine réel de dimension finie dont l'espace de direction est muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Ce produit scalaire définit :

• La norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{\langle \vec{u}, \vec{u} \rangle}$
• La distance : $d(A, B) = \|\vec{AB}\|$
• L'angle entre deux vecteurs non nuls : $\cos \theta = \frac{\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}$

Repères orthonormés

Un repère orthonormé $(O, e_1, \ldots, e_n)$ est un repère affine dont la base vectorielle est orthonormée : $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$.

Dans un tel repère, $d(A,B) = \sqrt{\sum (a_i - b_i)^2}$ et $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum u_i v_i$.

Isométries

Définition

Une isométrie de l'espace euclidien $\mathcal{E}$ est une application affine $f$ telle que :

De manière équivalente, la partie linéaire $\vec{f}$ est une isométrie vectorielle (elle préserve le produit scalaire) : $\vec{f} \in O(E)$ (groupe orthogonal).

Classification en dimension 2

En dimension 2, les isométries directes ($\det \vec{f} = 1$) sont :

• Les translations
• Les rotations de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ : dans une base orthonormée, la matrice est $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

Les isométries indirectes ($\det \vec{f} = -1$) sont :

• Les réflexions (symétries orthogonales par rapport à une droite)
• Les symétries glissées (réflexion composée avec une translation parallèle à l'axe)

Classification en dimension 3

Les isométries directes de $\mathbb{R}^3$ sont les rotations (autour d'un axe) et les vissages (rotation + translation le long de l'axe). Les isométries indirectes incluent les réflexions, les antirotations, etc.

Coniques

Les coniques sont les courbes du plan définies par une équation du second degré :

La nature de la conique dépend du discriminant $\Delta = b^2 - ac$ :

• $\Delta < 0$ : ellipse (ou cercle si $a = c$ et $b = 0$)
• $\Delta = 0$ : parabole
• $\Delta > 0$ : hyperbole

En coordonnées réduites :

• Ellipse : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
• Hyperbole : $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
• Parabole : $y^2 = 2px$

L'excentricité $e$ unifie la description : une conique de foyer $F$, directrice $\mathcal{D}$ et excentricité $e$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\frac{MF}{d(M, \mathcal{D})} = e$, avec $e < 1$ (ellipse), $e = 1$ (parabole), $e > 1$ (hyperbole).

La réduction des coniques utilise la diagonalisation de la matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ pour trouver les axes et la nature.

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