Les 10 erreurs classiques aux concours de maths

Chaque année, les rapports de jury des concours X, ENS, Centrale et Mines pointent les mêmes erreurs. Certaines sont des étourderies, d'autres révèlent des incompréhensions profondes. Voici les dix pièges les plus courants, illustrés par des exemples concrets, et comment les éviter.

1. Confondre convergence simple et convergence uniforme

C'est l'erreur la plus fréquente en analyse. Considérons $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$.

La convergence simple donne $f_n(x) \to f(x)$ où $f(x) = 0$ si $x \in [0, 1[$ et $f(1) = 1$. Mais $\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |x^n - f(x)| = 1$ pour tout $n$ (atteint en $x$ proche de 1). Donc la convergence n'est pas uniforme.

Conséquence : on ne peut pas intervertir limite et intégrale sans convergence uniforme (ou domination). Écrire $\lim \int f_n = \int \lim f_n$ sans justification est une faute grave.

2. Oublier les hypothèses du théorème de convergence dominée

Le théorème de convergence dominée requiert trois conditions :

$f_n \to f$ presque partout

$|f_n(x)| \leq g(x)$ pour tout $n$ et presque tout $x$

$g \in L^1$ (la dominante est intégrable)

L'erreur classique est d'écrire la domination sans vérifier l'intégrabilité de $g$. Par exemple, pour $f_n(x) = \frac{n}{1 + n^2 x^2}$ sur $]0, +\infty[$, on a $|f_n(x)| \leq \frac{1}{x}$, mais $x \mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas intégrable sur $]0, +\infty[$, donc cette domination est inutile.

3. Mauvais calcul du rayon de convergence

Pour la série entière $\sum a_n z^n$ avec $a_n = \frac{n^2}{3^n}$, le rayon de convergence se calcule par d'Alembert :

Donc $R = 3$. L'erreur courante est de confondre $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \ell$ avec $R = \ell$ au lieu de $R = \frac{1}{\ell}$.

4. Erreurs sur les matrices et le déterminant

Deux erreurs récurrentes :

• Croire que $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$. C'est faux ! Prenez $A = B = I_2$ : $\det(2I_2) = 4 \neq 2 = \det(I_2) + \det(I_2)$.
• Croire que $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$. La bonne formule est $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (inversion de l'ordre).

De même, $\text{rg}(AB) \leq \min(\text{rg}(A), \text{rg}(B))$, et l'inégalité peut être stricte.

5. Dériver sous le signe intégral sans vérification

Pour dériver $F(t) = \int_a^b f(x,t)\,dx$ par rapport à $t$, il faut vérifier :

• $t \mapsto f(x,t)$ est $\mathcal{C}^1$ pour presque tout $x$
• Il existe $g \in L^1([a,b])$ telle que $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\right| \leq g(x)$

Sans cette domination, l'interversion $F'(t) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\,dx$ est injustifiée.

6. Confondre injectivité et surjectivité en dimension infinie

En dimension finie, pour un endomorphisme $f$ de $E$, injectivité $\Leftrightarrow$ surjectivité $\Leftrightarrow$ bijectivité (théorème du rang). En dimension infinie, c'est faux.

Exemple : le décalage à droite $T : (x_1, x_2, \ldots) \mapsto (0, x_1, x_2, \ldots)$ dans $\ell^2$ est injectif mais pas surjectif.

7. Négliger le cas d'égalité dans les inégalités

L'inégalité de Cauchy-Schwarz affirme :

avec égalité si et seulement si les familles $(a_k)$ et $(b_k)$ sont proportionnelles. Oublier de caractériser le cas d'égalité fait perdre des points quand le sujet le demande, ce qui est fréquent.

8. Erreurs de quantificateurs

La continuité uniforme et la continuité simple diffèrent par l'ordre des quantificateurs :

• Continue : $\forall x \in E, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y, \, d(x,y) < \delta \Rightarrow d(f(x), f(y)) < \varepsilon$
• Uniformément continue : $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, \forall y, \, d(x,y) < \delta \Rightarrow d(f(x), f(y)) < \varepsilon$

Inverser $\forall x$ et $\exists \delta$ change fondamentalement la propriété. La fonction $x \mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$ est continue mais pas uniformément continue.

9. Oublier de vérifier les hypothèses de régularité

Appliquer le théorème de Rolle à $f$ sur $[a,b]$ nécessite $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, avec $f(a) = f(b)$. Écrire « par Rolle, il existe $c$... » sans vérifier la continuité aux bords ou la dérivabilité sur l'ouvert est sanctionné.

De même, pour appliquer le théorème d'inversion locale à $f : U \to \mathbb{R}^n$, il faut $f \in \mathcal{C}^1(U)$ et $\det(J_f(a)) \neq 0$.

10. Erreurs dans les raisonnements par récurrence

Une récurrence correcte comporte :

Initialisation : vérifier $P(n_0)$ (souvent $n_0 = 0$ ou $n_0 = 1$, attention à ne pas se tromper)

Hérédité : supposer $P(n)$ et démontrer $P(n+1)$

Conclusion : « Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ »

Les erreurs courantes : oublier l'initialisation, utiliser $P(n+1)$ dans la preuve de l'hérédité (raisonnement circulaire), ou ne pas distinguer récurrence simple et récurrence forte.

Par exemple, pour montrer que $u_n = \frac{3^n - 1}{2}$ vérifie $u_{n+1} = 3u_n + 1$, il ne suffit pas de « vérifier pour quelques valeurs ». Il faut une preuve complète par récurrence ou un calcul direct.

Conseil final

Avant de rendre votre copie, relisez en vous posant systématiquement ces questions :

• Ai-je vérifié les hypothèses de chaque théorème invoqué ?
• Mes quantificateurs sont-ils dans le bon ordre ?
• Mes calculs matriciels respectent-ils la non-commutativité ?
• Ai-je justifié les interversions limite/intégrale ?

Cette check-list simple peut faire gagner plusieurs points décisifs.

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